Question

20．如图，在直角坐标系中，直线y=-$\sqrt{3}x+5\sqrt{3}$分别与x轴、y轴交于点M、N，点A、B分别在y轴、x轴上，且∠B=60°，AB=2，将△ABO绕原点O顺时针转动一周，当AB与直线MN平行时点A的坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

Answer 1

分析 先确定∠NMO=60°，再计算出OA=$\sqrt{3}$，然后利用AB与直线MN平行画出图形，直线AB交x轴于点C，作AH⊥x轴于H，则∠OCB=60°，再利用含30度的直角三角形三边的关系求AH、OH，从而确定A点坐标．

解答 解：当x=0时，y=-$\sqrt{3}x+5\sqrt{3}$=5$\sqrt{3}$，则N（0，5$\sqrt{3}$），
当y=0时，-$\sqrt{3}x+5\sqrt{3}$=0，解得x=5，则M（5，0），
在Rt△OMN中，∵tan∠NMO=$\frac{5\sqrt{3}}{5}$=$\sqrt{3}$，
∴∠NMO=60°，
在Rt△ABO中，∵∠B=60°，AB=2，
∴∠OAB=30°，
∴OB=1，OA=$\sqrt{3}$，
∵AB与直线MN平行，
∴直线AB与x轴的夹角为60°，
如图1，直线AB交x轴于点C，作AH⊥x轴于H，则∠OCB=60°，
∵∠OCB=∠COA+∠A，
∴∠COA=60°-30°=30°，
在Rt△OAH中，AH=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OH=$\sqrt{3}$AH=$\frac{3}{2}$，
∴A点坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
如图2，直线AB交x轴于点C，作AH⊥x轴于H，则∠OCB=60°，
∵∠OCB=∠COA+∠A，
∴∠COA=60°-30°=30°，
在Rt△OAH中，AH=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OH=$\sqrt{3}$AH=$\frac{3}{2}$，
∴A点坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
综上所述，A点坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
故答案为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．解决本题的关键是正确画出旋转后的图形．