Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB交AB延长线于点E，点F为点B关于CE的对称点，连接CF，分别延长DC，CF至点G，H，使FH=CG，连接AG，DH交于点P．

（1）依题意补全图1；

（2）猜想AG和DH的数量关系并证明；

（3）若∠DAB=70°，是否存在点G，使得△ADP为等边三角形？若存在，求出CG的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) AG=DH,理由见解析;(3) 不存在．理由见解析.

【解析】(1)依题意画图；

（2）根据菱形性质得，∥，；由点为点关于的对称点，得垂直平分，故，，所以，再证，

由，，得．可证△≌△．

（3）由（2）可知，∠DAG=∠CDH，∠G=∠GAB，

证得∠DPA=∠PDG＋∠G=∠DAG+∠GAB=70°>60°，故△ADP不可能是等边三角形．

（1）补全的图形，如图所示．

（2）AG=DH．

证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴，∥，．

∵点为点关于的对称点，

∴垂直平分．

∴，．

∴．

又∵，

∴．

∵，，

∴．

∴△≌△．

∴．

（3）不存在．

理由如下：

由（2）可知，∠DAG=∠CDH，∠G=∠GAB，

∴∠DPA=∠PDG＋∠G=∠DAG+∠GAB=70°>60°．

∴△ADP不可能是等边三角形．