题目内容
【题目】如图,一定数量的石子可以摆成如图所示的三角形和四边形,古希腊科学家把数1,3,6,10,15,21,…,称为“三角形数”;把1、4、9、16,25,…称为“正方形数”.同样的,可以把数1,5,12,22,…,等数称为“五边形数”.
将三角形、正方形、五边形都整齐的由左到右填在所示表格里:
三角形数 | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | a | … |
正方形数 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | b | 49 | … |
五边形数 | 1 | 5 | 12 | 22 | c | 51 | 70 | … |
(1)按照规律,表格中a= ,b= ,c= .
(2)观察表中规律,第n个“正方形数”是 ;若第n个“三角形数”是x,则用含x、n的代数式表示第n个“五边形数”是 .
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
(1)首先根据前6个“三角形数”分别是1=、3=、6=、10=、15=、21=,可得第n个“三角形数”是,据此求出a的值是多少;然后根据前5个“正方形数”分别是1=12,4=22,9=32,16=42,25=52,可得第n个“正方形数”是n2,据此求出b的值是多少;最后根据前4个“五边形数”分别是1=,5=,12=,22=,可得第n个“五边形数”是,据此求出c的值是多少即可.
(2)首先判断出第n个“正方形数”是n2;然后分别求出第1个“三角形数”、第1个“正方形数”的和与第1个“五边形数”的差是多少,第2个“三角形数”、第2个“正方形数”的和与第2个“五边形数”的差是多少;第3个“三角形数”、第3个“正方形数”的和与第3个“五边形数”的差是多少;最后总结出规律,用含x、n的代数式表示第n个“五边形数”即可.
(1)∵前6个“三角形数”分别是:
1=、3=、6=、10=、15=、21=,
∴第n个“三角形数”是,
∴a==28.
∵前5个“正方形数”分别是:
1=12,4=22,9=32,16=42,25=52,
∴第n个“正方形数”是n2,
∴b=62=36.
∵前4个“正方形数”分别是:
1=,5=,12=,22=,
∴第n个“五边形数”是,
∴c==35.
(2)第n个“正方形数”是n2;
1+1-1=1,
3+4-5=2,
6+9-12=3,
10+16-22=4,
…,
∴第n个“五边形数”是n2+x-n.
故答案为:28、36、35;n2、n2+x-n.