题目内容
【题目】如图,反比例函数y= 的图象经过点A(﹣1,4),直线y=﹣x+b(b≠0)与双曲线y= 在第二、四象限分别相交于P,Q两点,与x轴、y轴分别相交于C,D两点.
(1)求k的值;
(2)当b=﹣2时,求△OCD的面积;
(3)连接OQ,是否存在实数b,使得S△ODQ=S△OCD?若存在,请求出b的值;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:∵反比例函数y= 的图象经过点A(﹣1,4),
∴k=﹣1×4=﹣4;
(2)解:当b=﹣2时,直线解析式为y=﹣x﹣2,
∵y=0时,﹣x﹣2=0,解得x=﹣2,
∴C(﹣2,0),
∵当x=0时,y=﹣x﹣2=﹣2,
∴D(0,﹣2),
∴S△OCD= ×2×2=2
(3)解:存在.
当y=0时,﹣x+b=0,解得x=b,则C(b,0),
∵S△ODQ=S△OCD,
∴点Q和点C到OD的距离相等,
而Q点在第四象限,
∴Q的横坐标为﹣b,
当x=﹣b时,y=﹣x+b=2b,则Q(﹣b,2b),
∵点Q在反比例函数y=﹣ 的图象上,
∴﹣b2b=﹣4,解得b=﹣ 或b= (舍去),
∴b的值为﹣ .
【解析】(1)根据反比例函数的图象上点的坐标特征易得k=﹣4;(2)当b=﹣2时,直线解析式为y=﹣x﹣2,则利用坐标轴上点的坐标特征可求出C(﹣2,0),D(0,﹣2),然后根据三角形面积公式求解;(3)先表示出C(b,0),根据三角形面积公式,由于S△ODQ=S△OCD , 所以点Q和点C到OD的距离相等,则Q的横坐标为(﹣b,0),利用直线解析式可得到Q(﹣b,2b),再根据反比例函数的图象上点的坐标特征得到﹣b2b=﹣4,然后解方程即可得到满足条件的b的值.
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