Question

20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=4$\sqrt{3}$，则阴影部分图形的面积为$\frac{8π}{3}$．

Answer 1

分析 根据垂径定理求得CE=ED=2$\sqrt{3}$，然后由圆周角定理知∠COE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OC、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S_阴影=S_扇形OCB-S_△COE+S_△BED．

解答 解：如图，假设线段CD、AB交于点E，

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=ED=2$\sqrt{3}$，
又∵∠CDB=30°，
∴∠COE=2∠CDB=60°，∠OCE=30°，
∴OE=CE•cot60°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2，OC=2OE=4，
∴S_阴影=S_扇形OCB-S_△COE+S_△BED=$\frac{60π×O{C}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$OE×EC+$\frac{1}{2}$BE•ED=$\frac{8π}{3}$-2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$=$\frac{8π}{3}$．
故答案为：$\frac{8}{3}π$．

点评 考查了垂径定理、扇形面积的计算，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．