Question

5．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°，将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．

（1）将图1中的三角尺绕点O逆时针旋转至图2，使点N在OC的反向延长线上，请直接写出图中∠MOB的度数，∠MOB=30°．
（2）将图1中的三角尺绕点O逆时针旋转至图3，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数．
（3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图4，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据对顶角求出∠BON，代入∠BOM=∠MON-∠BON求出即可；
（2）求出∠BOC=120°，根据角平分线定义请求出∠COM=∠BOM=60°，代入∠CON=∠MON+∠COM求出即可；
（3）用∠AOM和∠CON表示出∠AON，然后列出方程整理即可得解．

解答 解：（1）如图2，∵∠AOC=60°，
∴∠BON=∠AOC=60°，
∵∠MON=90°，
∴∠BOM=∠MON-∠BON=30°，
故答案为：30°；

（2）∵∠AOC=60°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=120°，
∵OM平分∠BOC，
∴∠COM=∠BOM=60°，
∵∠MON=90°，
∴∠CON=∠MON+∠COM=90°+60°=150°；

（3）∠AOM-∠NOC=30°，
理由是：∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AON=90°-∠AOM，
∠AON=60°-∠NOC，
∴90°-∠AOM=60°-∠NOC，
∴∠AOM-∠NOC=30°，
故∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM-∠NOC=30°．

点评 本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，读懂题目信息并熟练掌握各性质是解题的关键．