Question

2．某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费
和印刷费两部分，乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲、乙两厂的印刷费用y（千元）与证书数量x（千个）的函数关系图象分别如图中甲、乙所示．
（1）请你直接写出甲厂的制版费及y_甲与x间的函数解析式，并求出其证书印刷单价．
（2）当印制证书8千个时，应选择哪个印刷厂节省费用，节省费用多少元？
（3）如果甲厂想把8千个证书的印制费用不大于乙厂，在不降低制版费的前提下，每个证书最少降低多少元？

Answer 1

分析 （1）当x=0时，y=1，由此即可得出甲厂的制版费为1千元，设y_甲与x间的函数解析式为y_甲=kx+b（k≠0），根据函数图象找出点的坐标，再利用待定系数法即可求出函数解析式；根据“单价=总价÷印刷数量”即可求出甲厂的印刷单价；
（2）设y_乙与x间的函数解析式为y_乙=mx+n（m≠0），观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出函数解析式，代入x=8，分别求出y_甲与y_乙的值，比较做差即可得出结论；
（3）结合（2）的结论，根据“减少的单价=减少费用÷印刷数量”算出结果即可．

解答 解：（1）当x=0时，y_甲=1，
∴甲厂的制版费为1千元．
设y_甲与x间的函数解析式为y_甲=kx+b（k≠0），
将点（0，1）、（6，4）代入y_甲=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{1=b}\\{4=6k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴y_甲与x间的函数解析式为y_甲=$\frac{1}{2}$x+1．
证书印刷单价为：（4-1）÷6=0.5（元/张）．
答：甲厂的制版费为1千元，y_甲与x间的函数解析式为y_甲=$\frac{1}{2}$x+1，证书印刷单价为0.5元/张．
（2）设y_乙与x间的函数解析式为y_乙=mx+n（m≠0），
当x≥2时，将点（2，3）、（6，4）代入y_乙=mx+n中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{3=2m+n}\\{4=6m+n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{4}}\\{n=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴y_乙=$\frac{1}{4}$x+$\frac{5}{2}$．
当x=8时，y_甲=$\frac{1}{2}$×8+1=5；
当x=8时，y_乙=$\frac{1}{4}$×8+$\frac{5}{2}$=$\frac{9}{2}$．
∵5＞$\frac{9}{2}$，且5-$\frac{9}{2}$=$\frac{1}{2}$（千元）=500（元）．
∴当印制证书8千个时，选择乙厂，节省费用500元．
（3）每个证书降低费用为：500÷8000=$\frac{1}{16}$=0.0625（元）．
答：如果甲厂想把8千个证书的印制费用不大于乙厂，在不降低制版费的前提下，每个证书最少降低0.0625元．

点评 本题考查了一次函数的应用以及利用待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）（2）利用待定系数法求函数解析式；（3）根据数量关系直接计算．本题属于中档题，难度不大，但运算过程稍显繁琐，解决该题型题目时，根据函数图象找出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是关键．