Question

5．（1）阅读材料：
教材中的问题，如图1，把5个边长为1的小正方形组成的十字形纸板剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形，小明的思考：因为剪拼前后的图形面积相等，且5个小正方形的总面积为5，所以拼成的大正方形边长为$\sqrt{5}$，故沿虚线AB剪开可拼成大正方形的一边，请在图1中用虚线补全剪拼示意图．
（2）类比解决：
如图2，已知边长为2的正三角形纸板ABC，沿中位线DE剪掉△ADE，请把纸板剩下的部分DBCE剪开，使剪成的若干块能够拼成一个新的正三角形．
①拼成的正三角形边长为$\sqrt{3}$；
②在图2中用虚线画出一种剪拼示意图．
（3）灵活运用：
如图3，把一边长为60cm的正方形彩纸剪开，用剪成的若干块拼成一个轴对称的风筝，其中∠BCD=90°，延长DC、BC分别与AB、AD交于点E、F，点E、F分别为AB、AD的中点，在线段AC和EF处用轻质钢丝做成十字形风筝龙骨，在图3的正方形中画出一种剪拼示意图，并求出相应轻质钢丝的总长度．（说明：题中的拼接都是不重叠无缝隙无剩余）

Answer 1

分析 （1）依题意补全图形如图1，利用剪拼前后的图形面积相等，得出大正方形的面积即可；
（2）①先求出梯形EDBC的面积，利用剪拼前后的图形面积相等，结合等边三角形的面积公式即可；
②依题意补全图形如图3所示；
（3）依题意补全图形如图4，根据剪拼的特点，得出AC是正方形的对角线，点E，F是正方形两邻边的中点，构成等腰直角三角形，即可．

解答 解：（1）补全图形如图1所示，

由剪拼可知，5个小正方形的面积之和等于拼成的一个大正方形的面积，
∵5个小正方形的总面积为5
∴大正方形的面积为5，
∴大正方形的边长为$\sqrt{5}$，
故答案为：$\sqrt{5}$；
（2）①如图2，

∵边长为2的正三角形纸板ABC，沿中位线DE剪掉△ADE，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=1，BD=CE=1
过点D作DM⊥BC，
∵∠DBM=60°
∴DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_梯形EDBC=$\frac{1}{2}$（DE+BC）×DM=$\frac{1}{2}$（1+2）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
由剪拼可知，梯形EDBC的面积等于新拼成的等边三角形的面积，
设新等边三角形的边长为a，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴a=$\sqrt{3}$或a=-$\sqrt{3}$（舍），
∴新等边三角形的边长为$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$；
②剪拼示意图如图3所示，

（3）剪拼示意图如图4所示，

∵正方形的边长为60cm，
由剪拼可知，AC是正方形的对角线，
∴AC=60$\sqrt{2}$cm，
由剪拼可知，点E，F分别是正方形的两邻边的中点，
∴CE=CF=30cm，
∵∠ECF=90°，
根据勾股定理得，EF=30$\sqrt{2}$cm；
∴轻质钢丝的总长度为AC+EF=60$\sqrt{2}$+30$\sqrt{2}$=90$\sqrt{2}$cm．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，剪拼的特点，解本题的关键是根据题意补全图形，难点是剪拼新正三角形和筝形．