Question

如图，C为弧AB中点，OA⊥CD于M，CN⊥DB于N，且BD为直径，ON=2．
求：（1）∠DOM的度数；（2）CD的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,垂径定理,圆心角、弧、弦的关系

专题：

分析：（1）根据垂径定理求得

AD

=

AC

，进而求得

AD

=

AC

=

BC

，即可求得∠DOM=

1

3

×180°=60°；
（2）连接OC，先求得∠DOM=60°，从而求得∠D=30°，即可求得CD=2CN，根据圆心角、弧、弦的关系求得∠CON=60°，根据圆周角定理求得∠OCN=30°，根据30°的直角三角形的性质即可求得CD的长．

解答：解：（1）∵OA⊥CD于M，
∴

AD

=

AC

，
∵

AC

=

BC

，
∴

AD

=

AC

=

BC

，
∵BD为直径，
∴∠DOM=

1

3

×180°=60°；
（2）连接OC，
∵OA⊥CD，∠DOM=60°，
∴∠D=30°，
∴CD=2CN，
∵

AD

=

AC

=

BC

，
∴∠CON=60°，
∴∠OCN=30°，
∵CN⊥DB于N，
∴OC=2ON=4，
∴CN=

OC2-ON2

=2

3

，
∴CD=2CN=2×2

3

=4

3

．

点评：本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理等，熟练掌握圆的性质定理是解题的关键．