Question

如图，P是等腰Rt△ACB内一点，AC=BC，且PA=8，PB=10，PC=

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．将△CPB绕点C按逆时针方向旋转后，得到△CP′A．
（1）直接写出旋转的最小角度；
（2）求∠APC的度数．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：计算题

分析：（1）由等腰直角三角形的性质得CA=CB，∠ACB=90°，再根据旋转的性质得∠ACB等于旋转角，于是可判断旋转的最小角度为90°；
（2）连结PP′，如图，根据旋转的性质得∠P′CP=∠ACB=90°，CP′=CP=

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，P′A=PB=10，则可判断△CPP′为等腰直角三角形，得到PP′=

2

CP=6，∠CPP′=45°，然后利用勾股定理的逆定理判断△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，于是利用∠APC=∠APP′+∠CPP′计算即可．

解答：解：（1）∵△ACB为等腰直角三角形，
∴CA=CB，∠ACB=90°，
∵△CPB绕点C按逆时针方向旋转后，得到△CP′A，
∴∠ACB等于旋转角，
∴旋转的最小角度为90°；
（2）连结PP′，如图，
∵△CPB绕点C按逆时针方向旋转后，得到△CP′A，
∴∠P′CP=∠ACB=90°，CP′=CP=

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，P′A=PB=10，
∴△CPP′为等腰直角三角形，
∴PP′=

2

CP=

2

×

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=6，∠CPP′=45°，
在△APP′中，∵PP′=6，PA=8，P′A=10，
∴PP′²+PA²=P′A²，
∴△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，
∴∠APC=∠APP′+∠CPP′=90°+45°=135°．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．