Question

18．如图，已知BC为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，AB=2，∠C=30°．
（1）尺规作图：作∠BAC的平分线交⊙O于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求$\widehat{AD}$的长．

Answer 1

分析 （1）作BC的垂直平分线交⊙O于点D，连结AD，则AD平分∠BAC；
（2）连结OA，如图，根据圆周角定理得到∠BAC=90°，则∠B=60°，于是可判断△OAB为等边三角形，所以OB=AB=2，∠AOB=60°，再计算出∠AOD，然后根据弧长公式计算$\widehat{AD}$的长．

解答 解：（1）如图，AD为所作；

（2）连结OA，如图，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
在Rt△ABC中，∵∠C=30°，
∴∠B=60°，
而OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴OB=AB=2，∠AOB=60°，
而OD⊥BC，
∴∠AOD=60°+90°=150°，
∴$\widehat{AD}$的长度=$\frac{150•π•2}{180}$=$\frac{5}{3}$π．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了弧长公式．