Question

8．已知直线y=2x-4与两坐标分别交于点A，B，若点P是直线AB上的一个动点，则点P到原点O的最短距离是$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 设直线y=2x-4与x轴交点为A，与y轴交点为B，过点O作OC⊥AB于点C，当点P与点C重合时，OP最短，根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A、B的坐标，再根据勾股定理求出AB的长度，利用面积法即可求出OC的长度，此题得解．

解答 解：设直线y=2x-4与x轴交点为A，与y轴交点为B，过点O作OC⊥AB于点C，当点P与点C重合时，OP最短，如图所示．
当x=0时，y=-4，
∴B（0，-4）；
当y=0时，2x-4=0，
∴A（2，0）．
在Rt△AOB中，OA=2，OB=4，OC⊥AB，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，OC=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及三角形的面积，根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A、B的坐标是解题的关键．