Question

8．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=2，BD=2$\sqrt{3}$，将菱形按如图方式折叠，使点B与点O重合，折痕为EF，则五边形AEFCD的周长为7．

Answer 1

分析 根据菱形的性质得到∠ABO=∠CBO，AC⊥BD，得到∠ABC=60°，由折叠的性质得到EF⊥BO，OE=BE，∠BEF=∠OEF，推出△BEF是等边三角形，得到∠BEF=60°，得到△AEO是等边三角形，推出EF是△ABC的中位线，求得EF=$\frac{1}{2}$AC=1，AE=OE=1，同理CF=OF=1，于是得到结论．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=2$\sqrt{3}$，
∴∠ABO=∠CBO，AC⊥BD，
∵AO=1，BO=$\sqrt{3}$，
∴tan∠ABO=$\frac{AO}{BO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABO=30°，AB=2，
∴∠ABC=60°，
由折叠的性质得，EF⊥BO，OE=BE，∠BEF=∠OEF，
∴BE=BF，EF∥AC，
∴△BEF是等边三角形，
∴∠BEF=60°，
∴∠OEF=60°，
∴∠AEO=60°，
∴△AEO是等边三角形，
∴AE=OE，
∴BE=AE，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$AC=1，AE=OE=1，
同理CF=OF=1，
∴五边形AEFCD的周长为=1+1+1+2+2=7．
故答案为：7．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．