Question

3．如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．
（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；
（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG²=AF•AC．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）①过G作GH∥AD交BC于H，由AG=BG，得到BH=DH，根据已知条件设DC=1，BD=4，得到BH=DH=2，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{GM}{MC}$=$\frac{HD}{DC}$=$\frac{2}{1}$，求得GM=2MC；
②过C作CN⊥AD交AD的延长线于N，则CN∥AG，根据相似三角形的性质得到$\frac{AG}{NC}$=$\frac{GM}{MC}$，由①知GM=2MC，得到2NC=AG，根据相似三角形的性质得到结论．

解答 证明：（1）在Rt△ABE和Rt△DBE中，$\left\{\begin{array}{l}{BA=BD}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBE；
（2）①过G作GH∥AD交BC于H，
∵AG=BG，
∴BH=DH，
∵BD=4DC，
设DC=1，BD=4，
∴BH=DH=2，
∵GH∥AD，
∴$\frac{GM}{MC}$=$\frac{HD}{DC}$=$\frac{2}{1}$，
∴GM=2MC；
②过C作CN⊥AC交AD的延长线于N，则CN∥AG，
∴△AGM∽△NCM，
∴$\frac{AG}{NC}$=$\frac{GM}{MC}$，
由①知GM=2MC，
∴2NC=AG，
∵∠BAC=∠AEB=90°，
∴∠ABF=∠CAN=90°-∠BAE，
∴△ACN∽△BAF，
∴$\frac{AF}{CN}$=$\frac{AB}{AC}$，
∵AB=2AG，
∴$\frac{AF}{CN}$=$\frac{2AG}{AC}$，
∴2CN•AG=AF•AC，
∴AG²=AF•AC．

点评 本题考查了相似三角形的，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的是解题的关键．