Question

已知四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．现给出四个条件：
①AC⊥BD；②AC平分对角线BD；③AD∥BC；④∠OAD=∠ODA．请你以其中的三个条件作为命题的题设，以“四边形ABCD为矩形”作为命题的结论．
（1）写出一个真命题，并证明；
（2）写出一个假命题，并举出一个反例说明．

Answer 1

考点：命题与定理

专题：证明题

分析：（1）以②③④为题设，以“四边形ABCD为矩形”为结论可组成一个真命题，根据对角线相等且互相平分的四边形为矩形进行证明；
（2）①②④为题设，以“四边形ABCD为矩形”为结论可组成一个假命题，然后利用画反例图进行说明．

解答：解：（1）真命题：四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AC平分对角线BD；AD∥BC；∠OAD=∠ODA，则四边形ABCD为矩形．
证明如下：如图，∵∠OAD=∠ODA，
∴OA=OD，
∵AD∥BC，
∴∠OAD=∠OCB，∠OBC=∠ODA，
∴∠OCB=∠OBC，
∴OB=OC，
∵AC平分对角线BD，
∴OB=OD，
∴OA=OB=OC=OD，
即对角线AC和BD相等且互相平分，
∴四边形ABCD为矩形；
（2）假命题：四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AC⊥BD，AC平分对角线BD；∠OAD=∠ODA，则四边形ABCD为矩形．
如图，
．

点评：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了矩形的判定．