Question

12．已知在同一平面内∠AOB=90°，∠AOC=60°．
（1）画∠AOC（不写画法，保留画图痕迹），则∠COB的度数为30°或150°；
（2）画OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，则∠DOE的度数为45°；
（3）在（2）的条件下，将题目中的∠AOC=60°改成∠AOC=2a（a＜45°）其它条件不变，你能求出∠DOE的度数吗？若能，请写出求解过程，若不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）分别以点A、O为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点C，作射线OC即可；
（2）分OC在∠AOB内部和外部两种情况，由角平分线的定义可得∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC、∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC，分别依据∠DOE=∠COD+∠COE、∠DOE=∠COD-∠COE可得答案；
（3）与（2）同理可得．

解答 解：（1）如图所示，∠AOC或∠AOC′即为所求，

当OC在∠AOB内部时，∠BOC=∠AOB-∠AOC=30°，
当OC在∠AOB外部时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=150°，
故答案为：30°或150°；

（2）当OC在∠AOB内部时，如图2，

∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC=15°，∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=45°；
当OC在∠AOB外部时，如图3，

∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC=75°，∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°，
∴∠DOE=∠COD-∠COE=45°；
故答案为：45°；

（3）如图2，当OC在∠AOB内部时，
∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC，∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴∠DOE=∠COD+∠COE
=$\frac{1}{2}$∠BOC+$\frac{1}{2}$∠AOC
=$\frac{1}{2}$（90°-2α）+$\frac{1}{2}$•2α
=45°；
如图3，当OC在∠AOB外部时，
∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC，∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴∠DOE=∠COD-∠COE
=$\frac{1}{2}$∠BOC-$\frac{1}{2}$∠AOC
=$\frac{1}{2}$（90°+2α）-$\frac{1}{2}$•2α
=45°．

点评 本题主要考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义及角的运算是解题的关键．