Question

20．已知点I为△ABC的内心．

（1）如图1，AI交BC于点D，若AB=AC=6，BC=4，求AI的长；
（2）如图2，过点I作直线AB于点M，交AC于点N．
①若MN⊥AI，求证：MI²=BM•CN；
②如图3，AI交BC于点D，若∠BAC=60°，AI=4，请直接写出$\frac{1}{AM}$+$\frac{1}{AN}$的值．

Answer 1

分析 （1）过I作IE⊥AB于E，根据等腰三角形的性质，求得AD的长，再设DI=EI=x，则AI=4$\sqrt{2}$-x，根据Rt△AEI中，AE²+EI²=AI²，可得方程4²+x²=（4$\sqrt{2}$-x）²，解得x=$\sqrt{2}$，即可得出DI=$\sqrt{2}$，最后根据AI=AD-DI进行计算即可；
（2）①连接BI、CI，根据△AMI≌△ANI，即可得出∠AMN=∠ANM，MI=NI，设∠BAI=∠CAI=α，∠ACI=∠BCI=β，则△ACI中，∠NIC=90°-α-β，再根据∠ABC=180°-2α-2β，BI平分∠ABC，可得∠MBI=90°-α-β，进而得到∠MBI=∠NIC，即可判定△BMI∽△INC，从而得出$\frac{BM}{IN}$=$\frac{MI}{NC}$，进而得出MI²=BM•CN；
②过点N作NG∥AD，交MA的延长线于点G，根据∠ANG=∠AGN=30°，可得AN=AG，NG=$\sqrt{3}$AN，再根据AI∥NG，即可得出 $\frac{AM}{MG}$=$\frac{AI}{NG}$，进而得到$\frac{AM}{AM+AG}$=$\frac{AI}{NG}$，再根据$\frac{AM}{AM+AN}$=$\frac{4}{\sqrt{3}AN}$ 变形即可得到$\frac{1}{AM}$+$\frac{1}{AN}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

解答 解：（1）如图1，过I作IE⊥AB于E，
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABD，
又∵AB=AC=6，BC=4，
∴AD⊥BC，BD=2，
∴Rt△ABD中，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{2}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵∠BEI=∠BDI，∠EBI=∠DBI，BI=BI，
∴△BEI≌△BDI，
∴BD=BE=2，DI=EI，
∴AE=6-2=4，
设DI=EI=x，则AI=4$\sqrt{2}$-x，
∵Rt△AEI中，AE²+EI²=AI²，
∴4²+x²=（4$\sqrt{2}$-x）²，
解得x=$\sqrt{2}$，
∴DI=$\sqrt{2}$，
∴AI=AD-DI=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$；


（2）①如图2，连接BI、CI，
∵I为△ABC的内心，
∴∠MAI=∠NAI，
∵AI⊥MN，
∴∠AIN=∠AIM=90°，
∴△AMI≌△ANI，
∴∠AMN=∠ANM，MI=NI，
∴∠BMI=∠CNI，
设∠BAI=∠CAI=α，∠ACI=∠BCI=β，则△ACI中，∠NIC=90°-α-β，
∵∠ABC=180°-2α-2β，BI平分∠ABC，
∴∠MBI=90°-α-β，
∴∠MBI=∠NIC，
∴△BMI∽△INC，
∴$\frac{BM}{IN}$=$\frac{MI}{NC}$，
∴NI•MI=BM•CN，
∵NI=MI，
∴MI²=BM•CN；


②如图3，过点N作NG∥AD，交MA的延长线于点G，
∵AI平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∴∠ANG=∠AGN=30°，
∴AN=AG，NG=$\sqrt{3}$AN，
∵AI∥NG，
∴△MAI∽△MGN，
∴$\frac{AM}{MG}$=$\frac{AI}{NG}$，
即$\frac{AM}{AM+AG}$=$\frac{AI}{NG}$，
∴$\frac{AM}{AM+AN}$=$\frac{4}{\sqrt{3}AN}$，
即$\frac{1}{AM}$+$\frac{1}{AN}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形内心的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形以及相似三角形，依据勾股定理列方程求解，依据相似三角形对应边成比例，列出比例式进行变形．