Question

1．将平面上每个点都以红、蓝两色之一着色，证明：存在有两个内角分别为$\frac{{{{360}°}}}{7}$、$\frac{{{{720}°}}}{7}$，且它们的夹边长为2001的三角形，三个顶点同色．

Answer 1

分析 根据内角是$\frac{{{{360}°}}}{7}$、$\frac{{{{720}°}}}{7}$构造出圆内接正七边形，利用抽屉原理即可解决问题．

解答 证明?如图，

考察一个边长为2001的圆内接正七边形．
由抽屉原理得，七个顶点着红蓝两色，必有四个顶点同色，且此四点必有两点相邻?
不妨设A，H同蓝色，?
①C，E有一蓝色，则△AHC或△AHE，
②C，E均为红色，且B，F有一红色，则△BCE或△FEC满足要求，
③C，E均为红色，且B，F均为蓝色，则△ABF或△HFB满足要求．

点评 此题是染色问题，主要考查了抽屉原理，构造出边长为2001的圆内接正七边形是解本题的关键．