Question

如图，线段AB是圆O的直径，直线PQ经过圆上一点C，PQ∥AB，连结AC、BC，且AC=BC，AC=5

2

．点D是圆O上一点，且BD=5．
（1）求证：PQ是圆O的切线；
（2）求∠CBD的大小．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理

专题：

分析：（1）利用三角形ABC是等腰直角三角形的性质（三线合一），以及PQ∥AB，得出OC⊥PQ得出结论；
（2）利用勾股定理求得AB的长，进一步分情况探讨：①点D在弧BC上；②点D在弧BA上．

解答：（1）证明：如图，

连接OC，
∵AB是圆O的直径，OA=OB，AC=BC，
∴OC⊥AB
又∵PQ∥AB
∴OC⊥PQ
又∵点C在圆上，PQ经过点C，
∴PQ是圆O的切线．
（2）解：∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
根据勾股定理，AB=

AC2+BC2

=10，
点D是圆O上一点，且BD=5
∴OD=OB=BD=5，
∴∠OBD=60°，
又∵AC=BC，
∴∠OBC=45°，
如图，

∴∠CBD=60°+45°=105°，或∠CBD=60°-45°=15°
即∠CBD=105°或15°．

点评：此题考查切线的判定，以及等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及分类讨论思想的渗透．