Question

17．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，DE⊥DF．求证：EF²=BE²+CF²．（提示：要延长ED或FD，还要连接几条线段）

Answer 1

分析 延长FD到点G，使DG=DF，连接BG、EG，易证EF=EG，△CDF≌△BDG，可得BG=CF，∠DBG=∠C，即可求得∠ABG=90°，即可判定△BEG是直角三角形，根据勾股定理可得BE²+BG²=EG²，即可解题．

解答 证明：延长FD到点G，使DG=DF，连接BG、EG，如图所示：
∵∠EDF=90°，DF=DG，
∴DE垂直平分FG，
∴EF=EG，
∵D是BC中点，
∴CD=BD，
在△CDF和△BDG中，$\left\{\begin{array}{l}{DF=DG}&{\;}\\{∠CDF=∠BDG}&{\;}\\{CD=BD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△BDG（SAS），
∴BG=CF，∠DBG=∠C，
∵∠A=90°，
∴∠C+∠ABC=90°，
∴∠ABG=∠ABC+∠DBG=90°，
∴△BEG是直角三角形，
∴BE²+BG²=EG²，
∴EF²=BE²+CF²．

点评 本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质以及直角三角形中勾股定理的运用，本题中求证△CDF≌△BDG是解题的关键．