Question

4．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F．
（1）求证：AB=AF；
（2）当AB=6，BC=10时，求$\frac{AE}{AC}$的值．

Answer 1

分析 （1）由在?ABCD中，AD∥BC，利用平行线的性质，可求得∠FBC=∠AFB，又由BF是∠ABC的平分线，易证得∠ABF=∠AFB，利用等角对等边的知识，即可证得AB=AF；
（2）易证得△AEF∽△CEB，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得$\frac{AE}{AC}$的值．

解答 （1）证明：∵BF平分∠ABC，
∴∠CBF=∠AFB，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠ABF=∠AFB，
∵平行四边形ABCD，
∴AB=AF，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠ABF=∠AFB，
∵平行四边形ABCD，
∴AB=AF，

（2）解：∵AB=6，
∴AF=6，
∵AF∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴$\frac{AF}{BC}$=$\frac{AF}{BC}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{3}{8}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及等腰三角形的判定．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意有平行线与角平分线易得等腰三角形．