题目内容
如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5m，AC=12m．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1m/s；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2m/s．运动时间为t s．（1）求△ABC的周长和面积；
（2）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？
（3）当t为何值时，△AMN与△ABC相似？
（4）在运动的过程中，会不会出现直线MN既平分△ABC的面积又平分△ABC的周长的情况？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
考点：相似形综合题
专题：
分析：（1）利用勾股定理根据∠C=90°，BC=5m，AC=12m，求出AB=13m，再分别列式计算即可，
（2）先求出AM=12-t，AN=2t，再根据∠AMN=∠ANM得出AM=AN，从而得出12-t=2t，再求出t=4 即可，
（3）分两种情况讨论：①△AMN∽△ABC，则有
=
，即
=
，②△ANM∽△ACB，则
=
，即
=
，再分别计算即可，
（4）假设直线MN能同时平分△ABC周长和面积，得出2t+12-t=15，求出t=3，则AM=9，AN=6，作NP⊥AC，垂足为P，根据△ANP∽△ABC，求出
=
，从而得出t=
＜6.5，最后根据△ANP的面积为
＜15，不是△ABC面积的一半，即可得出不能．
（2）先求出AM=12-t，AN=2t，再根据∠AMN=∠ANM得出AM=AN，从而得出12-t=2t，再求出t=4 即可，
（3）分两种情况讨论：①△AMN∽△ABC，则有
| AM |
| AB |
| AN |
| AC |
| 12-t |
| 13 |
| 2t |
| 12 |
| AN |
| AB |
| AM |
| AC |
| 12-t |
| 12 |
| 2t |
| 13 |
（4）假设直线MN能同时平分△ABC周长和面积，得出2t+12-t=15，求出t=3，则AM=9，AN=6，作NP⊥AC，垂足为P，根据△ANP∽△ABC，求出
| 6 |
| 13 |
| NP |
| 5 |
| 30 |
| 13 |
| 135 |
| 13 |
解答：解：（1）∵∠C=90°，BC=5m，AC=12m，
∴AB2=BC2+AC2=169，
∴AB=13m，
∴△ABC的周长是：5+12+13=30m，
面积是：
×5×12=30m2；
（2）∵从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒．
∴AM=12-t，AN=2t
∵∠AMN=∠ANM
∴AM=AN，从而12-t=2t
解得：t=4 秒，
∴当t为4时，∠AMN=∠ANM．
（3）分两种情况讨论：
①如图1，△AMN∽△ABC，
则有
=
，即
=
，
解得：t=
＜6.5，符合题意；
如图2，△ANM∽△ACB，
则
=
，即
=
，
解得：t=
＜6.5，符合题意；
综上所述，当t=
和t=
时，△AMN与△ABC相似；
（4）假设直线MN能同时平分△ABC周长和面积，则AN=AM=15，即：
2t+12-t=15，
解得：t=3；
此时AM=9，AN=6，
如图3：
作NP⊥AC，垂足为P，
则△ANP∽△ABC，
=
，即：
=
，
解得：t=NP=
＜6.5，符合题意，
∵此时△ANP的面积为
×9×
=
＜15，不是△ABC面积的一半，
∴不能．
∴AB2=BC2+AC2=169，
∴AB=13m，
∴△ABC的周长是：5+12+13=30m，
面积是：
| 1 |
| 2 |
（2）∵从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒．
∴AM=12-t，AN=2t
∵∠AMN=∠ANM
∴AM=AN，从而12-t=2t
解得：t=4 秒，
∴当t为4时，∠AMN=∠ANM．
（3）分两种情况讨论：
①如图1，△AMN∽△ABC，
则有
| AM |
| AB |
| AN |
| AC |
| 12-t |
| 13 |
| 2t |
| 12 |
解得：t=
| 72 |
| 19 |
如图2，△ANM∽△ACB，
则
| AN |
| AB |
| AM |
| AC |
| 12-t |
| 12 |
| 2t |
| 13 |
解得：t=
| 156 |
| 37 |
综上所述，当t=
| 72 |
| 19 |
| 156 |
| 37 |
（4）假设直线MN能同时平分△ABC周长和面积，则AN=AM=15，即：
2t+12-t=15，
解得：t=3；
此时AM=9，AN=6，
如图3：
作NP⊥AC，垂足为P，
则△ANP∽△ABC，
| AN |
| AB |
| NP |
| BC |
| 6 |
| 13 |
| NP |
| 5 |
解得：t=NP=
| 30 |
| 13 |
∵此时△ANP的面积为
| 1 |
| 2 |
| 30 |
| 13 |
| 135 |
| 13 |
∴不能．
点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积，关键是做出辅助线构造相似三角形，注意分类讨论思想的应用．
练习册系列答案
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在0.51525354…、
、0.2、
、
、
，无理数的个数是（ ）
|
| 1 |
| π |
| 131 |
| 11 |
| 3 | 27 |
| A、2 | B、3 | C、4 | D、5 |
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