Question

8．如图，Rt△OAB的顶点O与坐标原点重合，∠AOB=90°，AO=2BO，当点A在反比例函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的图象上移动时，点B的坐标满足的函数解析式为（　　）

• A． y=-$\frac{1}{x}$（x＜0）
• B． y=-$\frac{1}{2x}$（x＜0）
• C． y=-$\frac{1}{4x}$（x＜0）
• D． y=-$\frac{1}{8x}$（x＜0）

Answer 1

分析 过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，设B点坐标满足的函数解析式是y=$\frac{k}{x}$，易得△AOC∽△OBD，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得S_△AOC：S_△BOD=4，继而求得答案．

解答 解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
设B点坐标满足的函数解析式是y=$\frac{k}{x}$，
∴∠ACO=∠BDO=90°，
∴∠AOC+∠OAC=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠BOD=∠OAC，
∴△AOC∽△OBD，
∴S_△AOC：S_△BOD=（$\frac{AO}{BO}$）²，
∵AO=2BO，
∴S_△AOC：S_△BOD=4，
∵当A点在反比例函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的图象上移动，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$OC•AC=$\frac{1}{2}$•x•$\frac{2}{x}$=1，
∴S_△BOD=$\frac{1}{2}$DO•BD=$\frac{1}{2}$（-x•$\frac{k}{x}$）=-$\frac{1}{2}$k，
∴1=4×（-$\frac{1}{2}$k），解得k=-$\frac{1}{2}$
∴B点坐标满足的函数解析式y=-$\frac{1}{2x}$（x＜0）．
故选：B．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质以及反比例函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用是解题的关键．