Question

3．已知A（-1，1），B（-$\frac{1}{2}$，-2），C（-3，-$\frac{1}{3}$）三个点中的两个点在反比例函数图象上．
（1）求出这个反比例函数的解析式，并找出不在图象上的点；
（2）设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是这个反比例函数图象上任意不重合的两点，M=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$，N=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{1}}{{x}_{2}}$，试判断M，N的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接根据反比例函数中k=xy的特点进行解答即可．
（2）根据点P的坐标可求出反比例函数的解析式，从而得到y₁与x₁、y₂与x₂的关系，然后只需运用作差法就可解决问题．

解答 解：（1）∵A（-1，1），B（-$\frac{1}{2}$，-2），C（-3，-$\frac{1}{3}$），
∴-1×1=-1，（-$\frac{1}{2}$）×（-2）=1，（-3）×（-$\frac{1}{3}$）=1，
∴点A不在这个反比例函数图象上．
（2）M＞N．
理由如下∵P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是函数y=$\frac{1}{x}$图象上的任意不重合的两点，
∴y₁=$\frac{1}{{x}_{1}}$，y₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$，y₁≠y₂．
∵M=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$，N=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{1}}{{x}_{2}}$，
∴M-N=（$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$）-（$\frac{{y}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{1}}{{x}_{2}}$）
=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}}$=（y₁-y₂）（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）
=（y₁-y₂）²＞0，
∴M＞N．

点评 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，在解决问题的过程中用到了数形结合和作差法等重要的数学思想方法，应熟练掌握．