Question

2．如图，正方形ABCD内接于⊙O，AD=2，弦AE平分BC交BC于P，连接CE，则CE的长为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 根据圆周角定理求得∠AEC=90°，由勾股定理求出AM的长，再证明△AMB∽△CME，根据相似三角形对应边比例即可求出CE的长．

解答 解：连接AC，BE，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB=2，
∵AE平分BC，
∴BM=CM=1，
∵四边形ABCD为圆内正方形，
∴AC必过圆心O，且∠AEC=∠ABC=90°，
∵∠CME=∠AMB，
∴△AMB∽△CME，
∴$\frac{AB}{CE}=\frac{AM}{MC}$．
∵AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{2}{CE}=\frac{\sqrt{5}}{1}$，
∴CE=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了正方形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；证明三角形相似是解决问题的关键．