Question

18．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF．
（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC：AP=1：2，PF=3，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）结论：AB是⊙O切线，连接DE，CF，由∠FCD+∠CDF=90°，只要证明∠ADF=∠DCF即可解决问题．
（2）只要证明△PCF∽△PAC，得$\frac{PC}{PA}$=$\frac{PF}{PC}$，设PC=a．则PA=2a，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）AB是⊙O切线．
理由：连接DE、CF．
∵CD是直径，
∴∠DEC=∠DFC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DEC+∠ACE=180°，
∴DE∥AC，
∴∠DEA=∠EAC=∠DCF，
∵∠DFC=90°，
∴∠FCD+∠CDF=90°，
∵∠ADF=∠EAC=∠DCF，
∴∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADC=90°，
∴CD⊥AD，
∴AB是⊙O切线．

（2）∵∠CPF=∠CPA，∠PCF=∠PAC，
∴△PCF∽△PAC，
∴$\frac{PC}{PA}$=$\frac{PF}{PC}$，
∴PC²=PF•PA，设PC=a．则PA=2a，
∴a²=3×2a，
∴a=6，
∴PA=2a=12，
则AF=12-3=9．

点评 本题考查切线的判定、相似三角形的判定和性质、圆的有关性质等知识，解题的关键是添加辅助线，记住直径所对的圆周角是直角，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．