Question

5．如图所示，正方形ABCD中，点E在AC上，AE=AD，EF⊥AC，求证：EC=EF=FB．

Answer 1

分析 首先连接AF，易证得Rt△AEF≌Rt△ABF，继而可得BF=EF，又由∠ACB=45°，EF⊥AC，可得△CEF是等腰直角三角形，继而证得：EC=EF=FB．

解答 证明：连接AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，AB=AD，
∵AE=AD，EF⊥AC，
∴AB=AE，∠AEF=90°，
在Rt△AEF和Rt△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEF≌Rt△ABF（HL），
∴FE=FB．
∵正方形ABCD中，∠ACB=$\frac{1}{2}$∠BCD=45°，
在Rt△CEF中，
∵∠ACB=45°，
∴∠CFE=45°，
∴∠ACB=∠CFE，
∴EC=EF，
∴EC=EF=FB．

点评 此题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．