Question

16．请完成下面的说明：

（1）如图（1）所示，△ABC的外角平分线交于点G，试说明∠BGC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
（2）如图（2）所示，若△ABC的内角平分线交于点I，试说明∠BIC=90°+$\frac{1}{2}$∠A．
（3）根据（1），（2）的结论，你能说出∠BGC和∠BIC的关系吗？

Answer 1

分析 （1）根据三角形外角性质和三角形内角和定理得出∠EBC=∠A+∠ACB，∠FCB=∠A+∠ACB，∠A+∠ABC+∠CBA=180°，求出∠EBC+∠FCB=180°+∠A，求出∠2+∠3的度数，即可得出答案；
（2）求出∠6+∠8的度数，根据三角形内角和定理求出即可；
（3）根据（1）（2）的结论即可得出答案．

解答 解（1）
如图1，∵∠EBC=∠A+∠ACB，∠FCB=∠A+∠ACB，∠A+∠ABC+∠CBA=180°，
∴∠EBC+∠FCB=180°+∠A，
∵BG、CG分别平分∠EBC、∠FCB，
∴$∠2+∠3=\frac{1}{2}（{∠EBC+∠FCB}）=\frac{1}{2}（{180°+∠A}）=90°+\frac{1}{2}∠A$，
∴$∠BGC=180°-（{∠2+∠3}）=90°-\frac{1}{2}∠A$；

（2）∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB，
∴$∠6+∠8=\frac{1}{2}（{∠ABC+∠ACB}）=\frac{1}{2}（{180°-∠A}）=90°-\frac{1}{2}∠A$，
∴$∠BIC=180°-（{∠6+∠8}）=90°+\frac{1}{2}∠A$，
即$∠BIC=90°+\frac{1}{2}∠A$；

（3）∠BGC和∠BIC的关系是互补．

点评 本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质的应用，能正确根据定理进行推理是解此题的关键．