Question

8．已知点A（0，1），B（2，3），抛物线y=x²+mx+2，若抛物线与线段AB相交于两点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 先用待定系数法求出直线AB的解析式，联立方程根据二次函数的图象与线段AB有两个不同交点求出m的范围即可．

解答 解：设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（0，1），B（2，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=3}\\{b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴线段AB的方程为y=x+1（0≤x≤2），
∵二次函数图象和线段AB有两个不同的交点，
∴方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+mx+2}\\{y=x+1}\end{array}\right.$有两个不同的实数解．
消元得：x²+（m-1）x+1=0（0≤x≤2），
设f（x）=x²+（m-1）x+1，
则$\left\{\begin{array}{l}{△=（m-1）^{2}-4＞0}\\{f（0）=1≥0}\\{f（2）=4+2（m-1）+1≥0}\\{0＜-\frac{m-1}{2}＜2}\end{array}\right.$，
解得-1.5≤x＜1．
故m的取值范围为-1.5≤x＜1．

点评 本题考查的是二次函数的性质，利用二次函数和二次方程之间的关系是解决本题的关键．