Question

18．如图，△ABC内接于⊙O，弦AB的垂直平分线OD与AB、BC分别相交于点M、N，与AC的延长线相交于点P，与⊙O相交于点D，求证：（1）ON•PN=NB•CN（2）OB²=ON•OP．

Answer 1

分析 （1）连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠DOB=$\frac{1}{2}$∠AOB，由圆周角定理得到∠ACB=$\frac{1}{2}∠$AOB，得到∠BON=∠BCP，推出△OBN∽△CNP，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）连接PB，根据相似三角形的性质得到∠OBN=∠CPN，根据线段垂直平分线的性质得到∠BPN=∠CPN，推出△OBN∽△OPB，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）连接OA，
∵OD垂直平分AB，OA=OB，
∴∠DOB=$\frac{1}{2}$∠AOB，
∵∠ACB=$\frac{1}{2}∠$AOB，
∴∠DOB=∠ACB，
∴∠BON=∠BCP，
∵∠ONB=∠NCP，
∴△OBN∽△CNP，
∴$\frac{ON}{CN}=\frac{BN}{PN}$，
∴ON•PN=NB•CN；

（2）连接PB，
∵△OBN∽△CNP，
∴∠OBN=∠CPN，
∵OD垂直平分AB，
∴∠BPN=∠CPN，
∴∠OBN=∠OPB，
∵∠BON=∠POB，
∴△OBN∽△OPB，
∴$\frac{OB}{OP}=\frac{ON}{OB}$，
∴OB²=ON•OP．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，胜率掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．