Question

6．某蔬菜基地要把一批新鲜蔬菜运往外地，有两种运输方式可供选择，主要参看数据如下：

运输方式	运输速度（km/h）	装卸费用（元）	途中综合费用（元/h）
汽车	m	200	270
火车	100	n	240

汽车、火车运输的总费用y₁（元）、y₂（元）与运输路程x（km）之间的函数关系的图象如图所示，结合图象解答下列问题：
（1）求m，n及y₁，y₂的表达式；
（2）考虑到运用汽车运输方便，只有汽车途中用时比火车的途中用时多用2小时以上（含2小时），才选用火车运输，问此时运用火车运输比用汽车运输至少节省多少元？

Answer 1

分析 （1）根据“总费用=装卸费用+途中综合费用”这一等量关系求出m、n的值，利用待定系数法列方程组可求出函数关系式；
（2）节省的费用是汽车运输费用减去火车运输费用，结合运输路程的范围可知节省的最少费用．

解答 解：（1）由函数图象知，当运输路程x=100时，汽车、火车的运输总费用均为650元，根据题意得
$200+270×\frac{100}{m}=650，解得m=60$；
$n+240×\frac{100}{100}=650，解得n=410$；
设汽车运输的总费用y₁与运输路程x间的函数关系式为：y₁=k₁x+b₁，
∵当运输路程x=0km时，运输总费用即装卸费用为200元；
∴将x=0、y=200和x=100、y=650代入函数关系式得
$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=200}\\{100{k}_{1}+{b}_{1}=650}\end{array}\right.，解得\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=4.5}\\{{b}_{1}=200}\end{array}\right.$；
∴汽车运输的总费用y₁与运输路程x间的函数关系式为：y₁=4.5x+200；
设火车运输的总费用y₂与运输路程x间的函数关系式为：y₂=k₂x+b₂；
将x=0、y=410和x=100、y=650代入函数关系式得
$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{2}=410}\\{100{k}_{2}+{b}_{2}=650}\end{array}\right.，解得\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=2.4}\\{{b}_{2}=410}\end{array}\right.$，
∴火车运输的总费用y₂与运输路程x间的函数关系式为：y₂=2.4x+410．
（2）∵汽车途中用时比火车的途中用时多用2小时以上（含2小时）
∴$\frac{x}{60}-\frac{x}{100}≥2，解得x≥300$；
记运用火车运输比用汽车运输节省W元，则
w=y₁-y₂
=4.5x+200-（2.4x+410）
=2.1x-210
∵W随x的增大而减小，且x≥300；
∴当x=300时，W取得最小值，最小值为410．
故此时运用火车运输比用汽车运输至少节省410元．

点评 本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．