Question

16．有5张正面分别写有数字 $-\frac{3}{2}$，-1，0，1，$\frac{5}{4}$的卡片，它们除数字不同外全部相同．将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a．则使以x为自变量的一次函数y=（a-1）x+2经过第二、四象限，且关于x的不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{x+1≤2a}\\{a-x≤2}\end{array}}\right.$有解的概率是$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 直接利用一次函数经过的象限得出a的取值范围，再利用不等式组有解得出a的取值范围，进而得出答案．

解答 解：∵以x为自变量的一次函数y=（a-1）x+2经过第二、四象限，
∴a-1＜0，
解得：a＜1，
解不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{x+1≤2a}\\{a-x≤2}\end{array}}\right.$得：
$\left\{\begin{array}{l}{x≤2a-1}\\{x≥a-2}\end{array}\right.$，
∵不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{x+1≤2a}\\{a-x≤2}\end{array}}\right.$有解，
∴a-2≤x＜2a-1，
故2a-1≥a-2，
解得：a≥-1，
故a的取值范围是：-1≤a＜1，
故a=-1，0时，符合题意，所有的可能有5种，
故使以x为自变量的一次函数y=（a-1）x+2经过第二、四象限，且关于x的不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{x+1≤2a}\\{a-x≤2}\end{array}}\right.$有解的概率是：$\frac{2}{5}$．
故答案为：$\frac{2}{5}$．

点评 此题主要考查了概率公式以及不等式组的解法和一次函数的性质等知识，正确求出a的取值范围是解题关键．