Question

3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P沿AC边从点A以1cm/s的速度向终点C运动，同时点Q从点C以2cm/s的速度沿CB、BA边向终点A运动
（1）当点Q在CB边上运动时，点P、Q出发几秒后，△PCQ的面积为12cm²；
（2）当点Q在CB边上运动时，点P、Q出发几秒后，△PCQ与△ACP相似；
（3）求整个运动过程中，△APQ的面积S与运动时间t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）设点P、Q同时出发t秒后，△PCQ的面积为12cm²，则AP=t，CQ=2t，再根据△PCQ的面积为12cm²，列出一元二次方程，求得t的值即可；
（2）根据△PCQ与△ACB相似，分两种情况讨论：当△PCQ∽△ACB时，$\frac{PC}{AC}=\frac{CQ}{CB}$；当△PCQ∽△BCA时，$\frac{PC}{BC}=\frac{CQ}{CA}$，分别根据比例式进行求解判断即可；
（3）根据整个运动过程中，点Q的位置需要分两种情况进行讨论：当点Q在BC上运动时，0≤t≤3；当点Q在BA上运动时，3＜t≤8，BQ+BC=2t．分别根据三角形的面积计算方法，求得△APQ的面积S与运动时间t的函数关系式．

解答 解：（1）设点P、Q同时出发t秒后，△PCQ的面积为12cm²，则AP=t，CQ=2t，

∵AC=8，BC=6，
∴PC=8-t，CQ=2t，
∵BQ=6-2t≥0．
∴0≤t≤3，
∵△PCQ的面积为12cm²，
∴${S_{△PCQ}}=\frac{1}{2}×（8-t）×2t=12$，
∴t²-8t+12=0，
∴t=2或6（舍去），
∴点P、Q同时出发2秒后，△PCQ的面积为12cm²．

（2）∵△PCQ与△ACB相似，
∴当△PCQ∽△ACB时，$\frac{PC}{AC}=\frac{CQ}{CB}$，
即$\frac{8-t}{8}=\frac{2t}{6}$，
∴$t=\frac{24}{11}$；
当△PCQ∽△BCA时，$\frac{PC}{BC}=\frac{CQ}{CA}$，
即$\frac{8-t}{6}=\frac{2t}{8}$，
∴$t=\frac{16}{5}$＞3（不合题意），
∴当P、Q同时出发$\frac{24}{11}$秒后，△PCQ与△ACB相似．

（3）如图所示，当点Q在BC上运动时，0≤t≤3，AP=t，CQ=2t，

∴$S=\frac{1}{2}t×2t={t^2}$；
如图所示，当点Q在BA上运动时，3＜t≤8，BQ+BC=2t．

∵AC=8，BC=6，∠C=90°，
∴AB=10，
∴AQ=10+6-2t=16-2t，
∵$sinA=\frac{3}{5}$，
∴△APQ中，AP边上的高为：$\frac{3}{5}$（16-2t），
∴$S=\frac{1}{2}t（16-2t）×\frac{3}{5}=\frac{3}{5}t（8-t）=-\frac{3}{5}{t^2}+\frac{24}{5}t$．
综上所述，△APQ的面积S与运动时间t的函数关系式为：S=$\left\{\begin{array}{l}{t^2}（0≤t≤3）\\-\frac{3}{5}{t^2}+\frac{24}{5}（3＜t≤8）\end{array}\right.$．

点评 本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式的求法和一元二次方程的解的情况的综合应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程再求解．解题时注意分类思想的运用．