Question

17．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．
求证：（1）∠1=∠2．
（2）四边形AFCE是菱形．

Answer 1

分析 （1）由平行线的性质：内错角相等即可证明；
（2）由于知道了EF垂直平分AC，因此只要证出四边形AFCE是平行四边形即可得出AFCE是菱形的结论．

解答 证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠1=∠2；
（2）∵EF是对角线AC的垂直平分线，
∴AO=CO，AC⊥EF，
∵AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，
在△AEO和△CFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠AEO=∠CFO}\\{AO=CO}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质．菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；
②四边相等；③对角线互相垂直平分．