Question

12．已知关于x的一元二次方程（k-2）x²-2（k-1）x+k+1=0
（1）若方程有两个实数根，求k的取值范围；
（2）若方程有两个实数根，且它们的倒数和为4，求k的值．

Answer 1

分析 （1）若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△=b²-4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0；
（2）设方程的两个为x₁，x₂，利用两根关系，得出x₁+x₂=$\frac{2（k-1）}{k-2}$，x₁x₂=$\frac{k+1}{k-2}$，进一步由它们的倒数和为4，建立关于k的方程，求出k即可．

解答 解：（1）∵方程有两个实数根，
∴根的判别式△=b²-4ac=[-2（k-1）]²-4（k-2）（k+1）=-4k+12≥0，
则k≤3，且k-2≠0，k≠2．
∴k≤3，k≠2．
（2）设方程的两个为x₁，x₂，
∵x₁+x₂=$\frac{2（k-1）}{k-2}$，x₁x₂=$\frac{k+1}{k-2}$，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2（k-1）}{k+1}$=4，
解得：k=-3．

点评 本题考查了一元二次方程根的判别式与根与系数的关系的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．