Question

19．我们知道，$\sqrt{{a}^{2}}$=|a|，那么要化简$\sqrt{4+2\sqrt{3}}$必须将被开方数变形为${（\sqrt{a}+\sqrt{b}）}^{2}$的形式，若4+2$\sqrt{3}$=${（\sqrt{a}+\sqrt{b}）}^{2}$，则4+2$\sqrt{3}$=a+b+2$\sqrt{ab}$，令$\left\{\begin{array}{l}{a+b=4}\\{ab=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=1}\end{array}\right.$，故$\sqrt{4+2\sqrt{3}}$=$\sqrt{{（\sqrt{3}+1）}^{2}}$=$\sqrt{3}+1$．
化简下列各式：
（1）$\sqrt{7-2\sqrt{10}}$；
（2）$\sqrt{8-4\sqrt{3}}$；
（3）$\sqrt{2-\sqrt{3}}$；
（4）$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$+$\sqrt{5-2\sqrt{6}}$．

Answer 1

分析 （1）根据题意结合完全平方公式开平方得出即可；
（2）根据题意结合完全平方公式开平方得出即可；
（3）根据题意结合完全平方公式开平方得出即可；
（4）根据题意结合完全平方公式开平方得出即可．

解答 解：（1）$\sqrt{7-2\sqrt{10}}$=$\sqrt{（\sqrt{5}-\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{5}$-$\sqrt{2}$；

（2）$\sqrt{8-4\sqrt{3}}$
=$\sqrt{2（4-2\sqrt{3}）}$
=$\sqrt{2（2-\sqrt{3}）^{2}}$
=（2-$\sqrt{3}$）$\sqrt{2}$
=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$；

（3）$\sqrt{2-\sqrt{3}}$=$\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{（2-\sqrt{3}）^{2}}}{\sqrt{2}}$=$\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$；

（4）$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$+$\sqrt{5-2\sqrt{6}}$
=$\sqrt{\frac{10+4\sqrt{6}}{2}}$+$\sqrt{\frac{10-4\sqrt{6}}{2}}$
=$\sqrt{\frac{（2+\sqrt{6}）^{2}}{2}}$+$\sqrt{\frac{（2-\sqrt{6}）^{2}}{2}}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（2+$\sqrt{6}$）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（2-$\sqrt{6}$）
=2$\sqrt{2}$．

点评 此题主要考查了二次根式的化简，正确利用完全平方公式得出是解题关键．