Question

8．若4²⁷+4¹⁰⁰⁰+4ⁿ为完全平方数，则正整数n满足（　　）

• A． n≥1972
• B． n≤1972
• C． n≥1973
• D． n≤1970

Answer 1

分析 通过提公因式，把原式整理成完全平方式的形式，从而推出n的值，进而通过反正的方式进行排除选项得解．

解答 解：因为4²⁷+4¹⁰⁰⁰+4ⁿ=2⁵⁴（1+2•2¹⁹⁴⁵+2^2n-54），
所以当2n-54=2×1945，即n=1972时，上式为完全平方数．
当n＞1972时，有（2^n-27）²＜1+2•2¹⁹⁴⁵+2^2n-54＜1+2•2^n-27+2^2（n-27）=（2^n-27+1）²，
所以上式不可能为完全平方数．
故选B．

点评 此题主要考查了完全平方数，正确利用完全平方数的性质求出n的取值范围是解题关键．