Question

15．在一次研究性学习活动中，同学们发现了一种直角三角形的作法，方法如图1所示：画线段AB，分别以点A、B为圆心，以大于$\frac{1}{2}$AB的长为半径画弧．两弧相交于点C，连结AC；再以点C为圆心，以AC长为半径画弧，交AC的延长线于D，连结DB．则△ABD就是直角三角形．
（1）请证明此作法的正确性；
（2）如图2，已知线段AB，请利用上述方法作一个 Rt△ABC，使得AB为直角边，∠C=30°（不写作法，保留作图痕迹）．

Answer 1

分析 （1）连结BC，利用等腰三角形的性质，由CA=CB得到∠CAB=∠CBA，由CD=CD得到∠D=∠CBD，则∠ABC=∠ABC+∠CBD=$\frac{1}{2}$（∠A+∠CBA+∠CBD+∠D），然后根据三角形内角和即可得到∠ABD=90°；
（2）由（1）的画法画直角△ABC即可，画出的△ABD为等边三角形时，∠A=60°，即可得出∠C=30°．

解答 解：（1）如图1，连接BC，

由作图可知，AC=BC=CD，
∴∠A=∠ABC，∠CBD=∠CDB，
∵∠A+∠ABC+∠CBD+∠CDB=180°，
∴2∠ABC+2∠CBD=180°，
∴∠ABC+∠CBD=90°，
即∠ABD=90°，
∴△ABD是直角三角形；

（2）如图2，分别以点A、B为圆心，AB的长为半径画弧，两弧相交于点D；
连结AD并延长，再以点D为圆心，以AD长为半径画弧，交AD的延长线于C；
连结BC，则△ABC就是直角三角形．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．