Question

12．如图，点E，F是正方形ABCD的对角线BD所在直线上的两点，且BE=DF，∠EAB=15°．则$\frac{BE}{AB}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 连接AC交BD于O，根据正方形的性质得到AC⊥BD，AO=OC，OB=OD，推出四边形AECF是菱形，根据菱形的性质得到AE=AF，根据全等三角形的性质得到∠FAD=∠EAB=15°，解直角三角形得到BE=（$\sqrt{3}$-1）AO，AB=$\sqrt{2}$AO，于是得到结论．

解答 解：连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
AO=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是菱形，
∴AE=AF，
在△ABE与△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{BE=DF}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠FAD=∠EAB=15°，
∵∠ABO=45°，
∴∠AEB=30°，
∴OE=$\sqrt{3}$AO，OB=AO，
∴BE=（$\sqrt{3}$-1）AO，AB=$\sqrt{2}$AO，
∴$\frac{BE}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．