Question

20．已知，如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}$x+4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线AD经过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且点E的横坐标为5，连接AC．

（1）求直线AD的解析式；
（2）如图2，点F为第一象限内抛物线上的动点，过点F作FG∥y轴交直线AD于点G，过点F作FH∥AC交直线AD于点H，当△FHG周长最大时，求点F的坐标．此时，点T为y轴上一动点，连接TA，TF，当|TA-TF|最大时求点T的坐标；
（3）如图3，点F仍为第一象限内抛物线上的动点，如（2）中条件得△FHG，边FH交x轴于点M，点N为线段FG上一动点，将△FMN沿着MN翻折得到△PMN，当△PMN与△FGH重叠部分图形为直角三角形，且PM=PG时，求线段FN的长．

Answer 1

分析 （1）求出A、E两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图1中，设F（m，-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{1}{3}$m+4），则G（m，-$\frac{1}{3}$m-1），FG=-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m+5，首先判断当FG最大时，△FGH的周长最短，利用二次函数的性质，求出点F坐标，作点F关于y轴的对称点F′，连接AF′，由此AF′交y轴于T，此时|TA-TF|最大，求出直线AF′的解析式即可解决问题．
（3）①如图2中，当∠MNP=90°，重叠部分是△MNP是直角三角形，②如图3中，当PM⊥GF时，重叠部分是△MNK是直角三角形．分别列出方程求解即可．

解答 解：（1）对于抛物线y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}$x+4，令y=0得-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}$x+4=0，解得x=-3或4．
令x=0得y=4，
∴A（-3，0），B（4，0），C（0，4），
∵x=5时，y=-$\frac{8}{3}$，
∴E（5，-$\frac{8}{3}$），
设直线AD的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{5k+b=-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直线AD的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x-1．

（2）如图1中，设F（m，-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{1}{3}$m+4），则G（m，-$\frac{1}{3}$m-1），FG=-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m+5，

∵FG∥CD，FH∥AC，
∴∠FHC=∠CAD，∠FGH=∠CDA，
∴∠FGH，∠FHG是定值，
∴当FG最大时，△FGH的周长最短，
∵FG=-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m+5=-$\frac{1}{3}$（m-1）²+$\frac{16}{3}$，
∵-$\frac{1}{3}$＜0，
∴m=1时，FG有最大值，此时F（1，4），
作点F关于y轴的对称点F′，连接AF′，由此AF′交y轴于T，此时|TA-TF|最大，
∵A（-3，0），F′（-1，4），
∴直线AF′的解析式为y=2x+6，
∴点T坐标（0，6）．

（3）①如图2中，当∠MNP=90°，重叠部分是△MNP是直角三角形，

∵△FMN∽△COA，
∴$\frac{FN}{CO}$=$\frac{FM}{AC}$，∵FN=-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{1}{3}$m+4，
∴FM=PM=PG=$\frac{5}{4}$FN=$\frac{5}{4}$（-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{1}{3}$m+4），
∵2FN+PG=FG，
∴2（-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{1}{3}$m+4）+$\frac{5}{4}$（-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{1}{3}$m+4）═-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m+5，
整理得9m²-5m-96=0，
解得m=$\frac{32}{9}$或-3（舍弃），
∴FN=-$\frac{1}{3}$（$\frac{32}{9}$）²+$\frac{1}{3}$×$\frac{32}{9}$+4=$\frac{236}{243}$．
②如图3中，当PM⊥GF时，重叠部分是△MNK是直角三角形．

∵KM：FK：FM=3：4：5，PM=PG，
∴PK：PG=2：5，
∴KG：PK=$\sqrt{21}$：2，
∴（$\frac{1}{3}$m+1）：$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{1}{3}$m+3）=$\sqrt{21}$：4，
∴（m+3）：（m+3）（-m+4）=$\sqrt{21}$：4，
解得m=4-$\frac{4\sqrt{21}}{21}$或-3（舍弃），
∴FK=$\frac{28\sqrt{63}}{63}$-$\frac{16}{63}$．
∵FN：NK=FM：MK=5：3，
∴FN=$\frac{5}{8}$FK=$\frac{35\sqrt{21}}{126}$-$\frac{10}{63}$．
③当∠NMF=90°，不可能得到PM=PG，故此种情形不存在．
综上所述，当△PMN与△FGH重叠部分图形为直角三角形，且PM=PG时，线段FN的长为$\frac{236}{243}$或$\frac{35\sqrt{21}}{126}$-$\frac{10}{63}$．

点评 本题考查二次函数综合题、最值问题、一次函数的应用、勾股定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题，学会用方程的思想思考问题，题目比较难，属于中考压轴题．