Question

3．如图是数轴的一部分，其单位长度为a，已知△ABC周长为12a，且三边为a的整数倍．
（1）请直接写出△ABC的三边长的所有情况（三角形全等算同一种情况）；
（2）若△ABC的三边互不相等，
①用直尺和圆规作出该三角形，（保留作图痕迹，不必写出作法）；
②记该△ABC外接圆的面积为S_圆，△ABC的面积为S_△，设y=$\frac{{S}_{圆}}{{S}_{△}}$，求y的值．

Answer 1

分析 （1）因为三边为a的整数倍，根据周长写出三边的所有情况；
（2）①作射线，在射线上截取CB=3a，分别以C、B为圆心，以4a、5a为半径画弧，交于点A，作出△ABC即是所求作的三角形；
②先证明这个三角形是直角三角形，其斜边就是外接圆的直径，分别计算S_圆、S_△，并计算其比值即可．

解答 解：（1）△ABC的三边长的所有情况：（4a，4a，4a）、（3a，4a，5a）、（5a，5a，2a）；
（2）①作图如下：


②由题意可得，（3a）²+（4a）²=（5a）²，
∴AB²+BC²=AC²，
则△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
则AB为外接圆的直径，
∴S_△ABC=$\frac{AC•BC}{2}$=$\frac{4a•3a}{2}$=6a²，
而S_圆=π$（\frac{AB}{2}）^{2}$=$π（\frac{5a}{2}）^{2}$=$\frac{25}{4}$πa²，
∴$\frac{S_圆}{S_△}=\frac{25}{24}π$．

点评 本题考查了数轴、三角形的外接圆、已知三边作三角形、勾股定理的逆定理，熟练掌握三角形的三边关系和勾股定理的逆定理，明确直角三角形中外接圆的直径是斜边的长，并熟记圆和直角三角形的面积公式．