题目内容
如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于E， |
| BC |
|
| BD |
（1）求证：CD∥BF；
（2）连接BC，若⊙O的半径为4，cos∠BCD=
| 3 |
| 4 |
考点：切线的性质
专题：
分析：（1）由BF是⊙O的切线得到AB⊥BF，进而得出AB⊥CD，由此即可证明CD∥BF；
（2）连接BD，由AB是直径得到∠ADB=90°，而∠BCD=∠BAD，cos∠BCD=
，所以cos∠BAD=
，然后利用三角函数即可求出AD的长，进而利用勾股定理求出BD的长，即可得出BC的长；由于cos∠DAE=
，而AD=6，由此求出AE，接着利用勾股定理可以求出ED，也就求出了CD．
（2）连接BD，由AB是直径得到∠ADB=90°，而∠BCD=∠BAD，cos∠BCD=
| 3 |
| 4 |
| AD |
| AB |
| AE |
| AD |
解答：
（1）证明：∵BF是⊙O的切线，
∴AB⊥BF，
∵
=
，
∴AB⊥CD，
∴CD∥BF；
（2）解：连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠BCD=∠BAD，cos∠BCD=
，
∴cos∠BAD=
，
又∵AB=8，
∴AD=6，
∴BC=6；
∵∠BCD=∠DAE，
∴cos∠BCD=cos∠DAE=
，AD=6，
∴AE=ADcos∠DAE=6×
=
，
∴ED=
=
，
∴CD=2ED=3
．
（1）证明：∵BF是⊙O的切线，∴AB⊥BF，
∵
|
| BC |
|
| BD |
∴AB⊥CD，
∴CD∥BF；
（2）解：连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠BCD=∠BAD，cos∠BCD=
| 3 |
| 4 |
∴cos∠BAD=
| AD |
| AB |
又∵AB=8，
∴AD=6，
∴BC=6；
∵∠BCD=∠DAE，
∴cos∠BCD=cos∠DAE=
| AE |
| AD |
∴AE=ADcos∠DAE=6×
| 3 |
| 4 |
| 9 |
| 2 |
∴ED=
62-(
|
3
| ||
| 2 |
∴CD=2ED=3
| 7 |
点评：本题考查了圆的切线性质及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
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