Question

9．如图①，E是直线AB、CD内部一点，AB∥CD，连接EA、ED．

（1）探究猜想：
①若∠EAB=30°，∠EDC=40°，求∠AED的度数；
②若∠EAB=20°，∠EDC=60°，求∠AED的度数；
③猜想图①中∠AED、∠EAB、∠EDC的关系，并说明理由
（2）扩展应用：
如图②，射线FE与长方形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③④位于直线AB的上方），P是位于以上四个区域内的一点，试猜想∠PEB、∠PFC、∠EPF的关系（不要求说明理由）

Answer 1

分析 （1）①过点E作EF∥AB，再由平行线的性质即可得出结论；②，③根据①中的方法可得出结论；
（2）点P分别位于①、②、③、④四个区域分别根据平行线的性质进行求解即可得到结论．

解答 解：（1）①如图①，过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∵∠A=30°，∠D=40°，
∴∠1=∠A=30°，∠2=∠D=40°，
∴∠AED=∠1+∠2=70°；
②过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∵∠A=20°，∠D=60°，
∴∠1=∠A=20°，∠2=∠D=60°，
∴∠AED=∠1+∠2=80°；
③猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC．
理由：过点E作EF∥CD，
∵AB∥DC∴EF∥AB（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠1=∠EAB，∠2=∠EDC（两直线平行，内错角相等），
∴∠AED=∠1+∠2=∠EAB+∠EDC（等量代换）．

（2）根据题意得：
点P在区域①时，∠EPF=360°-（∠PEB+∠PFC）；

点P在区域②时，∠EPF=∠PEB+∠PFC；

点P在区域③时，∠EPF=∠PEB-∠PFC；

点P在区域④时，∠EPF=∠PFC-∠PEB．

点评 本题考查的是平行线的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质，根据题意作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．