Question

17．（1）填空：2¹-2⁰=2-1=2^（　　），2²-2¹=4-2=2^（　　），2³-2²=8-4=2^（　　），…
（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立：
（3）计算：2⁰+2¹+2²+…+2⁹⁹．

Answer 1

分析 （1）根据乘方的运算法则计算即可；
（2）根据式子规律可得2ⁿ-2^n-1=2^n-1，然后利用提公因式2^n-1可以证明这个等式成立；
（3）设题中的表达式为a，再根据同底数幂的乘法得出2a的表达式，相减即可．

解答 解：（1）2¹-2⁰=2-1=2⁰，2²-2¹=4-2=2¹，2³-2²=8-4=2²；
故答案为：2-1；0；4-2；1；8-4；2；

（2）第n个等式为：2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
∵左边=2ⁿ-2^n-1=2^n-1（2-1）=2^n-1，
右边=2^n-1，
∴左边=右边，∴2ⁿ-2^n-1=2^n-1；

（3）设a=2°+2¹+2²+2³+…+2⁹⁸+2⁹⁹．①
则2a=2¹+2²+2³+…+2⁹⁸+2⁹⁹+2¹⁰⁰②
由②-①得：a=2¹⁰⁰-1
∴2⁰+2¹+2²+2³+…+2⁹⁸+2⁹⁹=2¹⁰⁰-1．

点评 此题主要考查了探寻数列规律问题，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：2ⁿ-2^n-1=2^n-1成立．