Question

8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交斜边于点D，点E为BC上一点，BE=DE，连接OB交DE于点F．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为3，BC=8，求$\frac{DF}{EF}$的值．

Answer 1

分析 （1）连接OD、CD，根据圆周角定理求出∠CDA=∠BDC=90°，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质求出∠ECD=∠EDC，∠OCD=∠ODC即可；
（2）根据勾股定理得到AB=10，根据射影定理得到BD=$\frac{B{C}^{2}}{AB}$=$\frac{32}{5}$，根据三角形的中位线得到OE∥AB，OE=$\frac{1}{2}$AB=5，推出△OEF∽△BDF，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：连接OD、CD，
∵AC为圆O的直径，
∴∠CDA=90°，
∴∠BDC=180°-90°=90°，
∵BE=DE，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=CE，
∴∠ECD=∠EDC，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠ECD+∠DCO=90°，
∴∠EDC+∠ODC=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是圆0的切线；

（2）∵⊙O半径为3，BC=8，
∴AC=6，AB=10，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴BD=$\frac{B{C}^{2}}{AB}$=$\frac{32}{5}$，
∵AO=CO，CE=BE，
∴OE∥AB，OE=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴△OEF∽△BDF，
∴$\frac{DF}{EF}=\frac{BD}{OE}$=$\frac{\frac{32}{5}}{5}$=$\frac{32}{25}$．

点评 本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，射影定理，正确的作出辅助线是解题的关键．