Question

12．已知：△ABC中，AB=AC=10，
（1）点P在边BC上，作PE∥AC，PF∥AB，求PE+PF；
（2）若点P在△ABC内，作PE∥AC，PF∥AB，直线FP与BC相交于点D，求PD+PE+PF；
（3）若点P在△ABC外，作PE∥AC，PF∥AB，直线FP与BC相交于点D，请你探索PE、PE、PF与AB之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出四边形PFAE是平行四边形，由平行四边形对边相等可得PF=AE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠BPE=∠C，然后求出∠B=∠BPE，利用等角对等边求出PE=BE，然后求解即可；
（2）根据等边对等角可得∠B=∠C，再根据两直线平行，同位角相等可得∠B=∠CDF，然后求出∠C=∠CDF，再根据等角对等边可得CF=PD+PF，然后求出四边形PFAE是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得PE=AF，然后求出PD+PE+PF=AC；
（3）PE+PF-PD=AB，思路同（2）可证DF=CF，PE=AF，得出PE+PF-PD=AC，即可得出结论．

解答 解：（1）∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形PFAE是平行四边形，
∴PF=AE，
∵PE∥AC，
∴∠BPE=∠C，
∴∠B=∠BPE，
∴PE=BE，
∴PE+PF=BE+AE=AB=10；
（2）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵PF∥AB，
∴∠B=∠CDF，
∴∠C=∠CDF，
∴CF=PD+PF，
∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形PFAE是平行四边形，
∴PE=AF，
∴PD+PE+PF=AC=10；
（3）PE+PF-PD=AB，理由如下：
同（2）可证DF=CF，PE=AF，
∵AF+CF=AC，
∴PE+PF-PD=AC，
∴PE+PF-PD=AB．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．