Question

13．如图，已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0；②a+b+c＞0；③a＞b；④4ac-b²＜0．其中正确结论有①③④．

Answer 1

分析 首先根据二次函数y=ax²+bx+c的图象经过原点，可得c=0，所以abc=0；然后根据x=1时，y＜0，可得a+b+c＜0；再根据图象开口向下，可得a＜0，图象的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{3}{2}$，所以b=3a，a＞b；最后根据二次函数y=ax²+bx+c图象与x轴有两个交点，可得△＞0，所以b²-4ac＞0，4ac-b²＜0，据此解答即可．

解答 解：∵二次函数y=ax²+bx+c图象经过原点，
∴c=0，
∴abc=0，故①正确；
∵x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，故②不正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴是x=-$\frac{3}{2}$，
∴-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{3}{2}$，
∴b=3a，
又∵a＜0，b＜0，
∴a＞b，故③正确；
∵二次函数y=ax²+bx+c图象与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴b²-4ac＞0，4ac-b²＜0，故④正确；
综上，可得正确结论有3个：①③④．
故答案为①③④．

点评 此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．