Question

8．如图1，平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为M．D在y轴上，OB=OD=3，OA=5．
（1）试用含a的式子表示点M的坐标；
（2）若S_△ABC-S_△ACM=$\frac{50}{3}$；
①求抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
②如图2，将△BOD绕点O沿逆时针方向旋转α（0°＜α≤180°）得到△B′OD′，直线AD与BC相交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由线段长度，确定点A，B坐标代入y=ax²+bx+c即可用a表示抛物线，运用顶点公式即可求出点M坐标；
（2）①用a表示△ABC与△ACM的面积，根据题意列方程求解即可；
②根据题意分析出：以点O为圆心，以OB为半径作圆，当AD与圆O在第二象限内相切时，Q的纵坐标最大，当AD与圆O在第三象限内相切时，Q的纵坐标最小，
分别求解即可，求解时，先确定切点坐标，求出两条直线解析式，联立直线解方程组求出y的值即可．

解答 解：（1）由OB=OD=3，OA=5可得，
点A（-5，0），B（3，0），D（0，5），
设抛物线的解析式为y=a（x-3）×（x+5），
整理得：y=ax²+2ax-15a，
所以顶点M（-1，-16a）；
（2）如图1

过点M作MN⊥x轴，垂足为N，交直线AC于点H，
y=ax²+2ax-15a，令x=0，解得：y=-15a，
所以：C（0，-15a）
设直线AC解析式为：y=mx+n，
由A（-5，0），C（0，-15a），坐标可得，$\left\{\begin{array}{l}{0=-5m+n}\\{n=-15a}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-3a}\\{n=-15a}\end{array}\right.$，
所以直线AC：y=-3ax-15a，
由M（-1，-16a），可得，
点H（-1，-12a），
所以MH=-16a-（-12a）=-4a，
所以：S_△ACM=$\frac{1}{2}×MH×（{x}_{C}-{x}_{A}）$=$\frac{1}{2}×（-4a）×5$=-10a，
S_△ABC=$\frac{1}{2}×AB×OC$=-60a，
由S_△ABC-S_△ACM=$\frac{50}{3}$，
解得：a=-$\frac{1}{3}$，
所以：抛物线的解析式为：y=$-\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{2}{3}x+5$；
②如图2

以点O为圆心，以OB为半径作圆，当AD与圆O在第二象限内相切时，Q的纵坐标最大，
此时，易求点D′的坐标为（-$\frac{9}{5}，\frac{12}{5}$），点A（-5，0）；点B′（$\frac{12}{5}，\frac{9}{5}$），
用两点法可求直线AD′解析式为：y=$\frac{3}{4}x+\frac{15}{4}$，
直线B′C的解析式为：$y=-\frac{4}{3}x+5$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+\frac{15}{4}}\\{y=-\frac{4}{3}x+5}\end{array}\right.$，
解得y=$\frac{21}{5}$，
如图3

以点O为圆心，以OB为半径作圆，当AD与圆O在第三象限内相切时，Q的纵坐标最小，
此时易求点D′（$-\frac{9}{5}$，$-\frac{12}{5}$），点A（-5，0）；点B′（-$\frac{12}{5}，\frac{9}{5}$），
用两点法可求直线AD′解析式为：$y=-\frac{3}{4}x-\frac{15}{4}$，
直线B′C的解析式为：$y=\frac{4}{3}x+5$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x-\frac{15}{4}}\\{y=\frac{4}{3}x+5}\end{array}\right.$，
解得：y=$-\frac{3}{5}$．
所以：点Q纵坐标的取值范围为：$-\frac{3}{5}$≤y≤$\frac{21}{5}$．

点评 此题主要考查二次函数的综合问题，会用已知点求解析式，会根据点的坐标表示三角形面积，会运用圆的知识分析解决旋转的相关问题是解题的关键．