Question

17．如图，AD是∠BAC的角平分线，AD的垂直平分线交AB于点E，交BC延长线于点F．
（1）∠FAC和哪个角相等？为什么？
（2）小刚认为直线DE与AC不可能相交，你同意他的说法吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）根据线段垂直平分线得出AF=DF，推出∠FAD=∠FDA，根据角平分线得出∠BAD=∠CAD，根据三角形外角性质推出即可；
（2）连接DE，根据垂直平分线的性质得到AE=DE，根据等腰三角形的性质得到∠EAD=∠EDA，等量代换得到∠ADE=∠DAC，由平行线的判定即可得到结论．

解答 解：（1）∠FAC=∠B，
理由：∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF=DF，
∴∠FAD=∠FDA，
∵∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠FAC=∠B；
（2）同意，
理由：连接DE，
∵EF垂直平分AD，
∴AE=DE，
∴∠EAD=∠EDA，
∠EAD=∠DAC，
∴∠ADE=∠DAC，
∴DE∥AC．

点评 本题考查了三角形的外角性质，角平分线定义，线段垂直平分线性质，平行线的判定等知识点的运用，关键是推出∠FAD=∠FDA，培养了学生综合运用性质进行推理的能力．