题目内容
2．如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4$\sqrt{3}$，点P是射线AB上动点，点E在边AC上，AE=PE，过点P作PE的垂线交射线AC于点F；若AP=x，△PEF与△ABC重合的部分面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤8，8＜x≤12，12＜x＜b时，函数的解析式不同）（1）求a的值；
（2）当P与B重合时，求x的值；
（3）小明观察图形后提出猜想“当点F与点C重合时S最大”，请说明小明的猜想是否正确，如果正确，求出最大值，如果不正确，请说明理由．
（4）求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
分析 （1）观察图象即可得出结论．
（2）观察图象可得结论．
（3）小明的猜想错误．当点F与点C重合时，由图2可知，S=m，m表示S的最大值．
（4）分三种情形①0＜x≤8，②8＜x≤12，③12＜x＜24时，分别求解即可．
解答 解：（1）由图象可知，a=8．
（2）观察图象可知，P与B重合时，x=12．
（3）小明的猜想错误．当点F与点C重合时，由图2可知，S=m，m表示S的最大值．
（4）由题意，BC=4$\sqrt{3}$，AB=12，
∴tan∠A=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠A=30°，
∵EA=EP，
∴∠EAP=∠EPA=30°，
∴∠FEP=∠EAP+∠EPA=60°，
①如图1中，当0＜x≤8时，重叠部分是△EPF，
∴S=$\frac{1}{2}$•EP•PF=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{3}$x•x=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x2
②如图3中，当8＜x≤12时，重叠部分是四边形EPMC，
S=S△EPF-S△CFM=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x2-$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}x-8\sqrt{3}}{2}$•2$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{3}x-8\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{7\sqrt{3}}{12}$x2+12$\sqrt{3}$-48$\sqrt{3}$．
③当12＜x＜24时，重叠部分是等边三角形△ECM，
S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（8$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x）2=$\frac{\sqrt{3}}{12}$x2-4$\sqrt{3}$x+48$\sqrt{3}$．
综上所述S=.$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{6}{x}^{2}}&{（0＜x≤8）}\\{-\frac{7\sqrt{3}}{12}{x}^{2}+12\sqrt{3}x-48\sqrt{3}}&{（8＜x≤12）}\\{\frac{\sqrt{3}}{12}{x}^{2}-4\sqrt{3}x+48\sqrt{3}}&{（12＜x＜24）}\end{array}\right.$．
点评 本题考查动点问题函数图象、30度的直角三角形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，读懂图象信息，体现了数形结合的数学思想，学会用分段函数表示函数解析式，属于中考常考题型．
如图，△ABC中，AC=BC，点D在BC的延长线上，CE∥AB．试说明：CE是∠ACD的角平分线．
如图，AD是∠BAC的角平分线，AD的垂直平分线交AB于点E，交BC延长线于点F．
如图，AB是半圆O的直径，射线AM、BN分别与半圆O相切于点A、B，点E在半圆上，点D在射线AM上，连接DE并延长交射线BN于点C，连接AE并延长交射线BN于点G．
如图所示，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O是AB边上的一个动点，AO=m，且⊙O的半径长为1，求：
如图，∠AOB=90°，∠BOE=110°，OB，OD分别平分∠COD，∠BOE，求∠AOE，∠AOC的度数．